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关于分红再投资的收益率
作者:晨稳投资 来源:雪球时间:2019-03-18 11:48:00


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我曾经在《市盈率和分红率如何影响投资收益率》一文中做了个模型,推导了分红再投资的收益率,总结出了公式,但当时没给计算过程。

今天特地把推导的步骤还原,然后解读下公式的含义。顺便引用下两个银行股的案例。以及算一算最佳分红率。

(一)模型假设

众所周知,股价=PE*EPS=PE*每股净资产*ROE。(如果不知道PE、EPS、ROE是什么的,就自己先去补一下基础知识吧……)

我们在计算投资收益率时,先不考虑市场估值的波动情况,也就是假设PE不变;为简化模型,也暂不考虑公司经营的变化,也就是假定ROE不变。(无需多讲,如果PE提升,或者ROE提升,对股价影响显然是正向的。)

另外我们也不考虑送股、转股那些花哨的不增加价值的操作。

(二)基本思路

第一年持股市值=股价1*持股数1=PE*每股净资产1*ROE*持股数1

第二年持股市值=股价2*持股数2=PE*每股净资产2*ROE*持股数2

于是我们得出:

投资收益率=(股价2*持股数2)/(股价1*持股数1)-1

=(每股净资产2*持股数2)/(每股净资产1*持股数1)-1

稍微变换下顺序:

投资收益率=(每股净资产2/每股净资产1)*(持股数2/持股数1)-1

也就是说,在PE和ROE不变的情况下,股票投资收益率就来源于两块:一是公司净资产增长,二是你的持股数增加。

(三)关于净资产增长

先来算公司的净资产增长:

第二年的每股净资产,相比第一年的变化,简单说主要有两部分,一是通过经营产生的利润流入,二是将利润分红导致的流出。

所以,每股净资产2=每股净资产1*(1+ROE)-每股净资产1*ROE*分红率

也就是说:每股净资产2/每股净资产1=1+ROE-ROE*分红率

整理一下我们得到投资收益率第一部分的来源:

每股净资产2/每股净资产1=1+ROE*(1-分红率)

(四)关于持股数增加

再来算第二部分来源,你的持股数增加:

第二年的持股数增加,就来源于第一年分红的再投资。

那么分红是多少呢?

第一年分红=每股分红1*持股数1

=EPS1*分红率*持股数1

增加多少持股呢?(简单起见,我们假设第一年分红后直接以第一年的股价买入。)

第一年增加持股数=第一年分红/股价1

=EPS1*分红率*持股数1/股价1

=分红率*持股数1/PE

所以,持股数2=持股数1+分红率*持股数1/PE

也就是说,持股数2/持股数1=1+分红率/PE

(五)得出分红再投资收益率公式

我们把两部分收益综合起来,可以得到:

投资收益率=(每股净资产2/每股净资产1)*(持股数2/持股数1)-1

=[1+ROE*(1-分红率)]*(1+分红率/PE)-1

这便是分红再投资的收益率公式了。

(六)一个案例:招商银行

举个例子:$招商银行(SH600036)$ 

招行的ROE,过去5年平均值是16.7%,过去10年平均19.3%,2002年上市16年以来ROE平均17.5%,我们姑且按16.7%来算。

招行的PE,我们按“年终收盘价/当年EPS”来统计,过去5年平均值是7.6倍,过去10年平均9.0倍,2002年上市16年以来平均15.9倍,我们姑且按9.0倍来算(说实话我个人认为是偏低的)。

招行的分红率,公司章程规定不低于30%,我们姑且按30%来算。

那么投资招行的收益率大致为:

收益率=[1+ROE*(1-分红率)]*(1+分红率/PE)-1

=[1+16.7%*(1-30%)]*(1+30%/9)-1

=(1+11.69%)*(1+3.33%)-1

=15.4%

也就是说,假如未来招行维持16.7%的ROE水平,市场对它维持9倍PE的估值水平,它的分红率维持30%水平,那么你长期持股、分红再投资的收益率是15.4%。

我个人认为这里的9倍PE假设是相当低估的。

(七)再一个案例:兴业银行

再举个例子:$兴业银行(SH601166)$ 

兴行的ROE,过去5年平均值是17.7%,过去10年平均19.7%,说实话17.7%可能还略微偏高,我们按16%来算吧。

兴行的PE,我们按“年终收盘价/当年EPS”来统计,过去5年平均值是5.9倍,过去10年平均7.0倍,说实话7.0倍实在是过低了,更不用说5.9倍,我们姑且保守一点按6倍来算,看看会如何。

兴行的分红率,公司章程规定不低于20%,我们姑且按20%来算。

那么投资兴行的收益率大致为:

收益率=[1+ROE*(1-分红率)]*(1+分红率/PE)-1

=[1+16%*(1-20%)]*(1+20%/6)-1

=(1+12.8%)*(1+3.33%)-1

=16.6%

也就是说,假如未来兴行维持16%的ROE水平,市场对它维持6倍PE的估值水平,它的分红率维持20%水平,那么你长期持股、分红再投资的收益率是16.6%。

你看,我们给兴行的ROE假设比招行低,给兴行的PE假设也比招行低,但为什么收益率却反而会更高呢?差别就在分红率和PE上。

解释是这样的:一方面,虽然给招行假设的ROE更高,但它分红多,留存的少,ROE高的优势反而被消除了。另一方面,虽然兴业的分红少,但因为PE低,再投资买入增加的持股数却不见得更少。

(八)公式的意义解读

我们稍微总结下,对这个分红再投资公式做简单解读。

1、分红再投资的收益率来源两部分,一是每股净资产的增长,二是持股数增加。

2、每股净资产的增长约等于ROE*(1-分红率),ROE越高越好,分红率越低越好。

道理也很简单,ROE越高代表公司经营效率越高;这种情况下,少分红、将利润留存给公司增厚净资产越多越好。

3、持股数的增加约等于分红率/PE,分红率越高越好,PE越低越好。

同样道理也很简单,分红钱越多可以买的股份数越多;PE越低说明估值越便宜,同等金额可以买入的股份数越多。

4、所以我们买股票,假设公司经营和市场估值都稳定的话,当然ROE越高越好,PE越低越好。

5、至于分红率,则没有绝对,它则同时每股净资产的增长和持股数的增长,但对二者的影响方向正好相反,互相制约。

从直观上来分析,分红率的最佳值受限于两个因素:一个是ROE,ROE越高,说明钱留在公司内部运营效率高,则分红率越低为好;另一个是PE,PE越低,说明分红买入股票机会越好,则分红率也应该越高为好。

矛盾当然是存在的。那么有没有最佳分红率呢?显然是有的。

(九)最佳分红率是多少?

我们现在就来算一下分红的最佳值是多少。这部分稍微难一点点,算附加部分吧。

目前为止,上面用到的都是小学数学知识。下面需要用到一点点微积分的基础,也就是导数的知识。如果没记错的话,现在高中也都有教了。

方便起见,我将收益率用字母d表示(代表英文Dividend的意思)。

ROE和PE仍然看作常数。

则收益率可以看作分红率d的一个函数:

f(d)=[1+ROE*(1-d)]*(1+d/PE)-1

认真看一下,这其实是一个一元二次的函数,我们把它展开:

f(d)=1+ROE*(1-d)+d/PE+ROE*(1-d)*d/PE-1

=ROE-ROE*d+(1/PE)*d+(ROE/PE)*d-(ROE/PE)*d^2

整理成一元二次方程的标准形式:

f(d)=(-ROE/PE)*d^2+(1+ROE-ROE*PE)/PE*d+ROE

然后我们求导:

f'(d)=(-2*ROE/PE)*d+(1+ROE-ROE*PE)/PE

因为f(d)是一条抛物线,开口向下,存在最大值。

最大值时斜率f'(d)=0。

我们令f'(d)=0,可以求解出:

d=(1+ROE-ROE*PE)/PE/(2*ROE/PE)

=(1+ROE-ROE*PE)/(2*ROE)

简化一下可以得到:

d=(1+1/ROE-PE)/2

也就是说,当d<(1+1/ROE-PE)/2时,随着d增大,收益率f(d)也增大;当d>(1+1/ROE-PE)/2时,随着d增大,收益率f(d)减小。

刚好d=(1+1/ROE-PE)/2时,f'(d)刚好为0,f(d)为最大值。

(十)值得提高分红的前提

引用上面招行的例子,算下最佳分红率d是多少。

ROE=16.7%;PE=9.0倍。

则d=(1+1/ROE-PE)/2=(1+1/0.167-9)/2=-1.0

你没看错,结果是负值。这并不代表最佳分红率应该是负的。我们都知道d的取值是0到100%。

它的正确解读是:当d>0时(这时候当然也就d>-1.0),随着d的增大,投资收益率会降低。

意思是这种情况下,越分红你的投资收益率就会越低。

那么什么时候提高分红率对投资收益率才是有帮助(正贡献)的呢?我们前面也说了,条件是d<(1+1/ROE-PE)/2。

我们再推演下,因为d隐含取值范围是0到100%,所以我们知道肯定有d≥0。

也就是说,如果提高分红率对投资收益率有帮助(正贡献),那么至少要满足的条件是:

(1+1/ROE-PE)/2>d≥0

即:PE≤1+1/ROE

这就是值得提高分红的前提。

比如ROE如果是10%,那么PE必须11倍以下,否则提高分红率就不能提高我们的投资收益率。

招行的ROE如果高达16.7%,那它的PE需要在7.0倍以下,否则提高分红率就不可能提高投资者的收益率。

但分红并不是简单的算数,而是还有其他层面的意义,我在《分红的意义》一文中有论述。大家还是要综合评估



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责任编辑:人在旅途